MATLAB 之 绘制三维图形的基本函数、三维曲面和其他三维图形

2024-01-24 01:05:31 作者:欧亿体育

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  • 三维图形具有更强的数据表现能力,为此 MATLAB 提供了丰富的函数来绘制三维图形。绘制三维图形与绘制二维图形的方法十分类似,很多都是在二维绘图的基础上扩展而来。

一、绘制三维曲线的基本函数

  • 基本的三维图形函数为 plot3,它是将二维绘图函数 plot 的有关功能扩展到三维空间,用来绘制三维曲线。
  • plot3 函数与 plot 函数用法十分相似,其调用格式如下:
plot3(x1,y1,z1,选项1,x2,y2,z2,选项2,,xn,yn,zn,选项n) 
  • 其中,每一组 x 、 y 、 z x、y、z xyz 组成一组曲线的坐标参数,选项的定义和 plot 函数相同(线型、颜色和标记符号等参数,详见 MATLAB 之 二维图形绘制的基本函数和辅助操作)。
  • x 、 y 、 z x、y、z xyz 是同长度的向量时,则 x 、 y 、 z x、y、z xyz 对应元素构成一条三维曲线。
  • x 、 y 、 z x、y、z xyz 是同型矩阵时,则以 x 、 y 、 z x、y、z xyz 对应列元素绘制三维曲线,曲线条数等于矩阵列数。
  • 例如,我们绘制空间曲线: { x 2 + y 2 + z 2 = 64 y + z = 0 \left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}=64 \\y+z=0 \end{matrix}\right. {x2+y2+z2=64y+z=0
  • 曲线对应的参数方程为 { x = 8 cos ⁡ t y = 4 2 sin ⁡ t z = − 4 2 sin ⁡ t , 0 ≤ t ≤ 2 π \left\{\begin{matrix}x=8\cos t \\y=4\sqrt{2} \sin t \\z=-4\sqrt{2} \sin t \end{matrix}\right.\begin{matrix},0\le t\le 2\pi \end{matrix} x=8costy=42 sintz=42 sint,0t2π
  • 程序如下:
t=0:pi/50:2*pi;
x=8*cos(t);
y=4*sqrt(2)*sin(t);
z=-4*sqrt(2)*sin(t);
plot3(x,y,z,'p');
title('Line in 3-D Space');
text(0,0,0,'origin');
axis ([-10,10,-10,10,-6,6]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
grid;
  • 程序运行结果如下图所示。

二、三维曲面

1. 平面网格坐标矩阵的生成

  • 绘制 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 所代表的三维曲面图,先要在 x y xy xy 平面选定一矩阵区域,假定矩形区域 D = [ a , b ] × [ c , d ] D=[a,b]×[c,d] D=[a,b]×[c,d],然后将 [ a , b ] [a,b] [a,b] x x x 方向分成 m m m 份,将 [ c , d ] [c,d] [c,d] y y y 方向分成 n n n 份。
  • 由各划分点分别作平行于两坐标轴的直线,将区域 D D D 分成 m × n m×n m×n 个小矩形,生成代表每一个小矩形顶点坐标的平面网格坐标矩阵,最后利用有关函数进行绘图即可。
  • 产生平面区域内的网格坐标矩阵有以下两种方法。
  • (1) 利用矩阵运算生成。
x=a:dx:b;
y=(c:dy:d)';
X=ones(size(y))*x;
Y=y*ones(size(x));
  • 在上述程序段中,矩阵 X 的 X的 X 每一行都是向量 x x x, 行数等于向量 y y y 的元素的个数,矩阵 Y Y Y 的每一列都是向量 y y y,列数等于向量 x x x 的元素的个数。
  • 于是 X X X Y Y Y相同位置上的元素 ( X ( i , j ) , Y ( i , j ) (X(i, j),Y(i, j) (X(i,j)Y(i,j) 恰好是区域 D D D ( i , j ) (i, j) (i,j) 网格点的坐标。若根据每一个网格点上的 x 、 y x、y xy坐标求函数值 z z z,则得到函数值矩阵 Z Z Z
  • 显然, X 、 Y 、 Z X、Y、Z XYZ 各列或各行所对应坐标,对应于一条空间曲线,空间曲线的集合组成空间曲面。
  • (2) 利用 meshgrid 函数生成。
x=a:dx:b;
y=c:dy:d;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
  • 程序段运行后,所得到的网格坐标矩阵 X 、 Y X、Y XY与方法(1)得到的相同。当 x = y x=y x=y 时,meshgrid 函数可写成 meshgrid(x)。
  • 为了说明网格坐标矩阵的用法,下面举一个例子, 该例子巧妙地利用网格坐标矩阵来解不定方程。
  • 例如,已知 6 < x < 30 , 15 < y < 36 66<x<3015<y<36,我们求不定方程 2 x + 5 y = 126 2x+5y=126 2x+5y=126 的整数解。
  • 程序如下:
x=7:29;
y=16:35;
[x,y]=meshgrid(x,y);  %[7,29]*[16,35]区域生成网格坐标
z=2*x+5*y;
k=find(z==126);  %找出解的位置
x(k)'  %输出对应位置的x即方程的解
y(k)'  %输出对应位置的y即方程的解
  • 程序运行结果如下:
ans =

     8    13    18    23


ans =

    22    20    18    16

  • 即方程总共有 4 组解:(8,22)、(13,20)、(18,18)、(23,16)。

2. 绘制三维曲面的函数

  • MATLAB 提供了 mesh 函数和 surf 函数来绘制三维曲面图。mesh 函数用于绘制三维网格图。在不需要绘制特别精细的三维曲面图时,可以通过三维网格图来表示三维曲面。surf 函数用于绘制三维曲面图,各线条之间的补面用颜色填充。
  • mesh 函数和 surf 函数的调用格式如下:
mesh(x,y,z,c)
surf(x,y,z,c)
  • 一般情况下, x 、 y 、 z x、y、z xyz 是同型矩阵。 x 、 y x、y xy 是网格坐标矩阵, z z z 是网格点上的高度矩阵, c c c 称为色标(color scale)矩阵,用于指定曲面的颜色。
  • 在默认情况下,系统根据 c c c 中元素大小的比例关系,把色标数据变换成色图矩阵中对应的颜色。
  • c c c 省略时,MATLAB 认为 c = z c=z c=z,亦即颜色的设定正比于图形的高度,这样就可以得出层次分明的三维图形。
  • x 、 y x、y xy 省略时,把 z z z 矩阵的列下标当作 x x x 轴坐标,把 z z z 矩阵的行下标当作 y y y 轴坐标,然后绘制三维曲面图。
  • x 、 y x、y xy 是向量时,要求 x x x 的长度等于 z z z 矩阵的列数, y y y 的长度等于 z z z 矩阵的行数, x 、 y x、y xy 向量元素的组合构成网格点的 x 、 y x、y xy 坐标, z z z 坐标则取自 z z z 矩阵,然后绘制三维曲面图。
  • 例如,我们绘制三维曲面图 z = sin ⁡ y cos ⁡ x z=\sin y\cos x z=sinycosx
  • 为便于分析各种三维曲面的特征,下面画出了 3 种不同形式的曲面。
  • 程序 1 如下:
x=0:0.1:2*pi;
[x,y]=meshgrid(x);
z=sin(y).*cos(x);
mesh(x,y,z);
xlabel('x-axis');
ylabel('y-axis');
zlabel('z-axis');
title('mesh');
  • 程序 1 运行结果如下图所示。

  • 程序 2 如下:
x=0:0.1:2*pi;
[x,y]=meshgrid(x);
z=sin(y).*cos(x);
surf(x,y,z);
xlabel('x-axis');
ylabel('y-axis');
zlabel('z-axis');
title('surf');
  • 程序 2 运行结果如下图所示。

  • 程序 3 如下:
x=0:0.1:2*pi;
[x, y]=meshgrid(x);
z=sin(y).*cos(x);
plot3(x,y,z);
xlabel('x-axis');
ylabel('y-axis');
zlabel('z-axis');
title('plot3');
grid;
  • 程序 3 运行结果如下图所示。

  • 网格图(mesh)中线条有颜色,线条间补面无颜色。曲面图(surf)的线条是黑色,线条间补面有颜色。曲面图补面颜色和网格图线条颜色都是沿 z z z 轴变化的。用 plot3 绘制的三维曲面实际上由三维曲线组合而成。
  • 例如,我们绘制两个相互垂直且直径相等相等的圆柱体的相交图形。
  • 程序如下:
m=30;
z=1.2*(0:m)/m; 
r=ones(size(z));
theta=(0:m)/m*2*pi;
x1=r'*cos(theta);  %生成第一个圆柱体的坐标矩阵
y1=r'*sin(theta);
z1=z'*ones(1,m+1);
x=(-m:2:m)/m;
x2=x'*ones(1,m+1);  %生成第二个圆柱体的坐标矩阵
y2=r'*cos(theta);
z2=r'*sin(theta);
surf(x1,y1,z1);  %绘制垂直的圆柱体
axis equal;
axis off;
hold on;
surf(x2,y2,z2);  %绘制水平的圆柱体
axis equal;
axis off;
title('两个圆柱体的相交图形');
hold off;
  • 程序运行结果如下图所示。

  • 例如,我们分析 z = x 2 − 2 y 2 z=x^{2} -2y^{2} z=x22y2 构成的曲面形状及与平面 z = a z=a z=a 的交线。
  • 程序如下:
[x,y]=meshgrid(-10:0.2:10);
z1=(x.^2-2*y.^2)+eps;  %第一个曲面坐标
a=input('a= ');
z2=a*ones(size(x));  %第二个曲面坐标
subplot(1,2,1);
mesh(x,y,z1);
hold on;
mesh(x,y,z2);  %分别画出两个曲面
v=[-10,10,-10,10,-100,100];  %第一子图的坐标设置
axis(v);
grid;
hold off;
r0=abs(z1-z2)<=1;  %求两曲面z坐标差小于1的点
xx=r0.*x;
yy=r0.*y;
zz=r0.*z2;  %求这些点上的x、y、z坐标,即交线坐标
subplot(1,2,2);
plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'*');  %在第二子图画出交线
axis(v);  %第二子图的坐标设置
grid;
  • 程序运行时,如果我们输入 a = − 25 a=-25 a=25,所得三维曲面图和曲面的交线如下图所示。当我们输入的 a a a 不同时,曲面的交线就会发生变化。

  • 此外,还有两个和 mesh 函数相似的函数,即带等高线的三维网格曲面函数 meshc 和带底座的三维网格曲面函数 meshz。其用法与 mesh 类似,不同的是 meshe 还在 x y xy xy 平面上绘制曲面在 z z z 轴方向的等高线,meshz 还在 x y xy xy 平面上绘制曲面的底座。
  • 函数 surf 也有两个类似的函数,即具有等高线的曲面函数 surfc 和具有光照效果的曲面函数 surfl
  • 例如,在 x y xy xy 平面内选择区域 [ − 8 , 8 ] × [ − 8 , 8 ] [-8,8]×[-8,8] [8,8]×[8,8] ,我们绘制函数 z = sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 z=\frac{\sin \sqrt{x^{2} +y^{2} } }{\sqrt{x^{2} +y^{2}}} z=x2+y2 sinx2+y2 的 4 种三维曲面图(墨西哥帽子图形)。
  • 程序如下:
[x,y]=meshgrid(-8:0.5:8);
z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./sqrt(x.^2+y.^2+eps);
subplot(2,2,1);
meshc(x,y,z) ;
title('meshc(x,y,z)');
subplot(2,2,2);
meshz(x,y,z);
title('meshz(x,y,z)');
subplot(2,2,3);
surfc(x,y,z);
title('surfc(x,y,z)');
subplot(2,2,4);
surfl(x,y,z);
title('surfl(x,y,z)');
  • 程序运行结果如下图所示。

3. 标准三维曲面

  • MATLAB 提供了一些的数用 于绘制标准三维曲面,还可以利用这些的数产生相应的绘图数据,常用于三维图形的演示。例如,sphere 函数和 cylinder 函数分别用于绘制三维球面和柱面。
  • sphere 函数的调用格式如下:
    [x,y,z]=sphere(n)
  • 该函数将产生 ( n + 1 ) × ( n + 1 ) (n+1)×(n+1) (n+1)×(n+1) 矩阵 x 、 y 、 z x、 y、z xyz,采用这 3 个矩阵可以绘制出圆心位于原点、半径为 1 的单位球体。若在调用该函数时不带输出参数,则直接绘制所需球面。 n n n 决定了球面的圆滑程度,其默认值为 20。若 n n n 值取得较小,则将绘制出多面体表面图。
  • cylinder 函数的调用格式如下:
    [x,y,z]=cylinder(R,n)
  • 其中, R R R 是一个向量,存放柱面各个等间隔高度上的半径, n n n 表示在圆柱圆周上有 n n n 个间隔点,默认有 20 个间隔点。例如:
>> cylinder(3)
  • 将生成一个圆柱。又例如:
>> cylinder([10,0])
  • 将生成一个圆锥,而执行下列命令:
>> t=0:pi/100:4*pi;
>> R=sin(t);
>> cylinder(R,30);
  • 将生成一个正弦型柱面。另外,生成矩阵的大小与 R R R 向量的长度及 n n n 有关。其余用法与 sphere 函数相同。
  • MATLAB 还有一个 peaks 函数,称为多峰函数,常用于三维曲面的演示。该函数可以用来生成绘图数据矩阵,矩阵元素由以下函数在矩形区域 [ − 3 , 3 ] × [ − 3 , 3 ] [-3,3]×[-3,3] [3,3]×[3,3] 的等分网格点上的函数值确定。 f ( x , y ) = 3 ( 1 − x 2 ) e − x 2 − ( y + 1 ) 2 − 10 ( x 5 − x 3 − y 5 ) e − x 2 − y 2 − 1 3 e − ( x + 1 ) 2 − y 2 f(x,y)=3(1-x^{2})e^{-x^{2}-(y+1)^{2}}-10(\frac{x}{5}-x^{3}-y^{5})e^{-x^{2}-y^{2}}-\frac{1}{3}e^{-(x+1)^{2}-y^{2}} f(x,y)=3(1x2)ex2(y+1)210(5xx3y5)ex2y231e(x+1)2y2
  • 例如:
    z=peaks(30);
  • 将生成一个 30 × 30 30×30 30×30 的矩阵 z z z,即分别沿 x x x y y y 方向将区间 [ − 3 , 3 ] [-3,3] [3,3] 等分成 29 份,并计算这些网格点上的函数值。默认的等分数是 48,即 p=peaks 将生成一个 49 × 49 49×49 49×49 的矩阵 p p p。也可以根据网格坐标矩阵 x 、 y x、y xy 重新计算函数矩阵。例如:
>> [x,y]=meshgrid(-5:0.1:5);
>> z=peaks(x,y);
  • 生成的数值矩阵可以作为 meshsurf 等函数的参数而绘制出多峰函数曲面图。另外,若在调用 peaks 函数时不带输出参数,则直接绘制出多峰函数曲面图。
  • 例如,我们绘制标准三维曲面图形。
  • 程序如下:
t=0:pi/20:2*pi;
[x,y,z]=cylinder(2+sin(t),30);
subplot(1,3,1);
surf(x,y,z);  %生成一个正弦型柱面
axis([-5,5,-5,5,0,1]);
[x,y,z]=sphere;
subplot(1,3,2);
surf(x,y,z);  %生成一个球面
axis equal;
[x,y,z]=peaks(30);
subplot(1,3,3);
meshz(x,y,z);  %生成一个多峰曲面
axis([-5,5,-5,5,-10,10]);
  • 程序运行结果如下图所示。

三、其他三维图形

  • 在介绍二维图形时,曾提到各种特殊图形,有些还可以以三维形式出现,使用的函数包括 bar3bar3hpie3fill3scatter3stem3quiver3

1. 三维条形图

  • bar3 函数绘制三维条形图,常用格式如下:
    bar3 (y)
    bar3(x,y)
  • 在第一种格式中, y y y 的每个元素对应于一个条形。第二种格式在 x x x 指定的位置上绘制 y y y 中元素的条形图。
  • bar3h 的用法与 bar3 相同。

2. 三维饼图

  • pie3 函数绘制三维饼图,常用格式如下:
    pie3(x,explode)
  • 其中 x x x 为向量,用 x x x 中的数据绘制一个三维饼图,explode 设置相应的扇形是否偏离整体图形。

3. 三维实心图

  • fill3 函数可在三维饼图内绘制出填充过的多边形,常用格式如下:
    fill3(x,y,z,c)
  • 其中使用 x 、 y 、 z x、y、z xyz 作为多边形的顶点,而 c c c 指定了填充的颜色。

4. 三维散点图

  • scatter3 函数可在三维空间内绘制散点图,常用格式如下:
    scatter3(x,y,z,c)
  • 其中 x 、 y 、 z x、y、z xyz 必须时等长度的向量,而 c c c 指定了填充的颜色。

5. 三维杆图

  • stem3 函数绘制离散序列数据的三维杆图,常用格式如下:
    stem3(z)
    stem3(x,y,z)
  • 第一种将数据序列 z z z 表示为从 x y xy xy 平面向上延申的杆图, x x x y y y 自动生成。第二种格式在 x x x y y y 指定的位置上绘制数据序列 z z z 的杆图。

6. 三维箭头图

  • quiver3 函数绘制三维空间的矢量图,常用格式如下:
    quiver3(x,y,z,u,v,w)
  • 其中 x 、 y 、 z 、 u 、 v 、 w x、y、z、u、v、w xyzuvw 必须长度一样,绘制三维矢量图。矢量由 ( u , v , w ) (u,v,w) (u,v,w) 决定,所在位置由 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z) 决定。例如,quiver3(1,2,3,4,5,6) 是以 (1,2,3) 为起点绘制一个矢量,即一个由 (1,2,3) 指向 (4,5,6) 的箭头。
  • 例如,我们绘制以下三维图形。
  • (1) 绘制魔方阵的三维条形图。
  • (2) 已知 x = [ 2347 , 1827 , 2043 , 3025 ] x=[2347,1827,2043,3025] x=[2347,1827,2043,3025],绘制三维饼图。
  • (3) 用随机的顶点坐标值画出 5 个黄色三角形。
  • (4) 以三位杆图形式绘制曲线 y = sin ⁡ x y=\sin x y=sinx
  • 整体程序如下:
subplot(2,2,1);
bar3(magic(4));
title('(1)bar3');
subplot(2,2,2);
pie3([2347,1827,2043,3025]);
title('(2)pie3');
a=rand(3,5);
b=rand(3,5);
c=rand(3,5);
subplot(2,2,3);
fill3(a,b,c,'y');
title('(3)fill3');
y=2*sin(0:pi/10:2*pi);
subplot(2,2,4);
stem3(y);
title('(4)stem3');
  • 整体程序运行结果如下图所示。

  • 除了上面讨论的三维图形外,常用图形还有瀑布图、三维曲面的等高线图。
  • 绘制瀑布图用 watrall 函数,它的用法及图形效果与 meshz 函数相似,只是它的网格线是在 x x x 轴方向出现,具有瀑布效果。等高线图分二维和三维两种形式,分别使用函数 contourcontour3 绘制。
  • 例如,我们绘制多峰函数的瀑布图和等高线图。
  • 程序如下:
subplot(1,2,1);
[X,Y,Z]=peaks(30);
waterfall(X,Y,Z)
xlabel('X-axis');
ylabel('Y-axis');
zlabel('Z-axis');
subplot(1,2,2);
contour3(X,Y,Z,12,'k');  %其中12代表高度的等级数
xlabel('X-axis');
ylabel('Y-axis');
zlabel('Z-axis');
  • 程序运行结果如下图所示。

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